Функция sinc(x), также называемая «функцией выборки», представляет собой функцию, которая часто возникает при обработке сигналов и теории преобразований Фурье. Полное название функции – «sine cardinal», но обычно ее называют сокращением «sinc».
Функция Sinc чрезвычайно важна, поскольку мы находимся в реальном мире, где обрабатываем данные ограниченной длины. Другими словами, поскольку собирать бесконечное количество данных непрактично, мы должны ограничить сбор данных конечным числом выборок из-за проблем с хранением и продолжительности эксперимента.
Скажем, возьмем самый простой случай исследования системы и получения синусоидального сигнала на выходе. Все мы знаем, что синусоида - это периодический сигнал бесконечной длительности. Если мы хотим провести анализ спектра, мы просто берем преобразование Фурье (точнее, ряд Фурье, поскольку синус - периодическая функция) синусоидальной волны, и мы ожидаем, что в сигнале будет присутствовать только одна частота. Но на практике мы не можем брать выборки для синусоидальной волны бесконечной длительности, мы должны ограничить его определенным конечным числом выборок N, в основном из-за ограничения во времени эксперимента или ограничений инструмента измерения.
Таким образом, синусоида усекается, что математически эквивалентно умножению периодической синусоиды на прямоугольную функцию длиной N (N отсчетов). Теперь, если взять преобразование Фурье этой синусоидальной волны конечной длительности, это эквивалентно свертке фактических спектров синусоидальной волны с функцией sinc (которая является сопряженной Фурье прямоугольной функцией) из-за того свойства, что умножение во временной области является свертка в частотной области (это действительно для любых областей, реализованных с помощью ортогонального преобразования). Таким образом, то, что было бы импульсной функцией (синус Фурье), теперь является функцией sinc. Наиболее важный момент, который следует отметить, заключается в том, что все ограничения в спектральной области, такие как спектральное разрешение, спектральные потери энергии из-за боковых лепестков и т. д., связаны с этой конечностью длины данных. Таким образом, в спектральной области функция sinc является лучшим представителем конечной длины данных в качестве ядра свертки. Но давайте теперь рассмотрим ее с математической точки зрения.
Математическая формулировка функции sinc записывается следующим образом:
Показанная выше функция не определена для x = 0, и, следовательно, нам нужно определить sinc(0) на основе предела, когда x приближается к 0, что равно 1. Таким образом:
В контексте цифровой обработки сигналов мы часто используем альтернативную форму, в которой независимая переменная умножается на π:
Эта вторая форма называется нормализованной функцией sinc, потому что определенный интеграл по всему диапазону x равен 1:
Нормализованная версия широко используется при цифровой обработке сигналов. Когда мы имеем дело с дискретными данными, а не с переменной непрерывного времени, нормализация выражается следующим образом:
На следующем графике показана форма функции sinc, а также разница, возникающая при умножении независимой переменной на π.
Преобразование Фурье функции sinc представляет собой прямоугольник с центром в точке ω = 0. Это дает sinc(x) особое место в области обработки сигналов, потому что прямоугольная форма в частотной области является идеализированным откликом фильтра. Другими словами, sinc(x) – это импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот.
Использование функции sinc в приложениях фильтрации более очевидно в цифровой области. На следующем графике показано сходство между импульсной характеристикой КИХ-фильтра и графиком sinc(x).
Преобразование Фурье функции sinc представляет собой прямоугольник, а преобразование Фурье прямоугольного импульса является функцией sinc. Если нам нужно сократить сигнал с дискретным временем для целей спектрального анализа, мы можем умножить его на прямоугольное окно, и эта операция эквивалентна свертке преобразования Фурье сигнала с функцией sinc.
Функция sinc также появляется при анализе цифро-аналогового преобразования. Идеализированная реконструкция аналогового сигнала представляет собой последовательность импульсов, но реальные ЦАП создают «ступенчатую» форму волны, применяя удержание нулевого порядка к выходным отсчетам. В частотной области удержание нулевого порядка приводит к выходному спектру, который равен идеализированному спектру, умноженному на функцию sinc.
© digitrode.ru