цифровая электроника
вычислительная техника
встраиваемые системы

 
» » Что такое преобразование Фурье


Что такое преобразование Фурье

Автор: Mike(admin) от 3-08-2020, 23:55

Названное в честь французского математика Жозефа Фурье, преобразование Фурье является математической процедурой, которая позволяет нам определять частотное содержание функции. Для инженеров-электриков преобразование Фурье обычно применяется к временным функциям, которые мы называем сигналами.


Что такое преобразование Фурье

В этой статье приводится важная информация о математическом методе преобразования Фурье, который играет абсолютно фундаментальную роль в проектировании систем и обработке сигналов.


График зависимости напряжения или тока от времени, каким мы его видим на дисплее осциллографа, представляет собой интуитивно понятное представление поведения сигнала. Это, однако, не единственное полезное представление. Во многих случаях, например, при проектировании радиочастотных систем, нас интересует, прежде всего, периодическое поведение сигналов. Более конкретно, мы заинтересованы в понимании сигнала относительно синусоидальной периодичности, потому что синусоиды являются уникальным математическим выражением «чистой» частоты.


Преобразование Фурье раскрывает элементарную периодичность сигнала, раскладывая сигнал на составляющие его синусоидальные частоты и определяя величины и фазы этих составляющих частот.


Слово «разложение» здесь имеет решающее значение. Преобразование Фурье учит нас думать о сигнале во временной области как о форме волны, которая составлена из основных синусоидальных форм волны с различными величинами и фазами. Например, прямоугольный сигнал может быть разложен на бесконечный ряд синусоид с постоянно уменьшающимися амплитудами и постоянно увеличивающимися частотами. Точный ряд для прямоугольного сигнала, связанным с переменным током периода T и амплитуды A, можно записать следующим образом:


Что такое преобразование Фурье

Мы можем преобразовать это в следующую форму, которая является немного более интуитивно понятной:


Что такое преобразование Фурье

Следующий график показывает исходную прямоугольный сигнал синего цвета и первые восемь синусоид в бесконечной последовательности.


Что такое преобразование Фурье

Посмотрев на этот график, вы все еще можете немного скептически отнестись к тому, что эти синусоиды можно объединить в прямоугольный сигнал. Следующий график вас убедит. Он показывает исходный прямоугольный сигнал и форму сигнала, полученную путем сложения всех составляющих синусоид, показанных выше.


Что такое преобразование Фурье

Когда мы вычисляем преобразование Фурье, мы начинаем с функции времени f(t), и посредством математического разложения мы получаем функцию частоты F(ω). Обычно мы используем угловую частоту в теоретических обсуждениях преобразования Фурье. Оценка F(ω) на некоторой определенной угловой частоте, скажем, 100 рад/с, дает нам величину и фазу синусоидальной составляющей f(t), которая имеет частоту 100 рад/с. Если f(t) не имеет синусоидальной составляющей при 100 рад/с, амплитуда будет равна нулю. Вам может быть интересно, как одна функция, F(ω), может сообщать как амплитуду, так и фазу. Преобразование Фурье производит комплексную функцию, означающую, что само преобразование не является ни амплитудой частотных компонентов в f(t), ни фазой этих компонентов. Как и для любого комплексного числа, мы должны выполнить дополнительные вычисления, чтобы извлечь амплитуду или фазу.


Концепция комплексного преобразования несколько более интуитивна, когда мы работаем с дискретным преобразованием Фурье, а не «стандартным» преобразованием, в котором мы начинаем с символической функции времени и заканчиваем символической функцией частоты.


Дискретное преобразование Фурье оперирует последовательностью числовых значений и создает последовательность коэффициентов Фурье. Эти коэффициенты являются типичными комплексными числами (то есть они имеют форму a + jb), и мы обычно используем величину этих комплексных чисел, рассчитанную как √(a2 + b2), при анализе частотного содержания сигнала.


Графики частотного содержания чрезвычайно распространены в документациях, отчетах об испытаниях, учебниках и т. д. Мы часто называем график зависимости амплитуды от частоты как спектр – например, «давайте посмотрим на спектр сигнала» означает «давайте посмотрим на какое-то визуальное представление информации о величине в преобразовании Фурье». На следующем графике показан спектр прямоугольного сигнала переменного тока с амплитудой 1 и частотой 1 Гц.


Что такое преобразование Фурье

Мы почти закончили, но мы до сих пор не рассказали вам, как мы на самом деле генерируем преобразование Фурье математически определенного сигнала. Честно говоря, мы не видим необходимости тщательно изучать математические детали в подобной обзорной статье: в настоящее время в анализе частотной области преобладают удобные для пользователя программные методы, и инженеры не тратят много времени на преобразование символического времени в символические выражения частотной области.


Тем не менее, для чего-то столь же важного, как преобразование Фурье, хорошо бы, по крайней мере, знать основную математику. Итак, вот как мы конвертируем f(t) в F(ω):


Преобразование Фурье

Мы надеемся, что эта статья предоставила четкое, интуитивное объяснение того, что такое преобразование Фурье и как оно дает нам дополнительное понимание природы сигнала.




© digitrode.ru


Теги: преобразование Фурье




Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Комментарии:

Оставить комментарий