цифровая электроника
вычислительная техника
встраиваемые системы

 
» » ТАУ. Оператор Лапласа и передаточные функции.

ТАУ. Оператор Лапласа и передаточные функции.

Автор: Mike(admin) от 22-09-2013, 17:15

Любая часть системы управления, будь то регулятор, объект или датчик, имеет вход и выход. С помощью входов и выходов они взаимодействуют с другими элементами системы и с внешней средой. При воздействии входного сигнала на элемент системы, в этом элементе происходят какие-то внутренние изменения состояния, которые приводят к изменению выходного сигнала. То есть элемент системы представляет собой некоторую функцию зависимости y от x. Это можно изобразить на рисунке 1.


звено со входом и выходом

Рисунок 1 – элемент системы управления с входом и выходом

Определение функции F(x) и есть, по сути, основная задача, решаемая в рамках теории автоматического управления. Знание F(x) объекта поможет составить правильный алгоритм управления им, F(x) датчика определит характер обратной связи, а синтез F(x) сделает систему по-настоящему работоспособной. Саму F также иногда называют оператором, поскольку она оперирует входным сигналом.


Базовыми операциями в ТАУ являются интегрирование и дифференцирование. Допустим, сигнал нарастает в течение некоторого времени, что зачастую очень характерно для сигналов в системах управления, тогда для описания этого процесса его следует «собрать» интегралом во всем временном промежутке:


интеграл

Дифференцирование также чрезвычайно полезно в теории автоматического управления. Оператор дифференцирования в противовес оператору интегрирования берет производную от входного сигнала, то есть:


дифференциал

Здесь зарождается очень важное понятие в ТАУ – оператор Лапласа p, который призван заменить запись d/dt, иначе говоря


оператор Лапласа

Также в некоторых источниках этот оператор представляется произведением мнимой единицы на угловую частоту, то есть p=jω. Но мы пока не будем трогать частотный диапазон, ибо это обширная тема и просто запомним два простейших правила:


интегрирование и диффиренцирование

Как же выглядит интегрирование и дифференцирование сигнала? Интегрирование сигнала скачкообразной формы показано на рисунке 2а. Здесь все просто, сигнал будет инкрементироваться на каждом шаге интегрирования, пока не достигнет за время t1 изначально заданного значения. А что если продифференцировать такой сигнал? Ни в коем случае! Это угроза безопасности Вселенной, такой сигнал пробьет небесный свод и устремится в бесконечность к звездам (рисунок 2б)! Короче говоря, математика гласит, что производная мгновенно измененного сигнала равна бесконечности, а поскольку бесконечность является идеальной и недостижимой величиной, то в реальном мире такая операция не имеет смысла. Иначе говорят, что такая операция физически не реализуема. В общем, p в чистом виде не применяется, а используется только в составе более сложных выражений, где эта p будет каким-то образом компенсирована.


интегрирование и диффиренцирование

Рисунок 2 – интегрирование и дифференцирование сигнала

Теперь, когда мы знаем про соотношение выходного сигнала к входному и про оператор Лапласа, мы можем перейти к такому понятию как передаточная функция. По сути, передаточная функция, записываемая как W(p), представляет собой отношение выход/вход. Система, записанная через передаточные функции, более наглядна, и в отношении нее можно применять более-менее простые методы анализа и синтеза. Но о них позже, а сейчас рассмотрим на несложном примере, как же получаются такие функции.


Предположим у нас имеется звено, процессы происходящие в котором описываются следующим уравнением:


звено с производной по y

Слева выходная величина (и ее производная), справа входная (в сложных выражениях там тоже могут быть производные). T – какая-то постоянная времени, K – какой-то коэффициент. Теперь производим замену на оператор Лапласа:


звено с производной по y

Как было выше отмечено, передаточная функция равна отношению выход/вход:


инерционное звена первого порядка

Вот так мы получили передаточную функцию инерционного звена первого порядка. В ТАУ имеется несколько типовых звеньев (включая это), из которых можно составить любую систему, любое звено какой угодно сложности. Сейчас только отметим, что передаточные функции в зависимости от порядков числителя и знаменателя могут быть правильными и неправильными. Вышеприведенная функция является правильной, также говорят строго правильной, потому что порядок знаменателя больше порядка числителя. И это хорошо, она реализуема. Ниже приведена еще пара функций.


реализуемое и нереализуемое звенья

Функция типа 1 также правильная, но не строго. Степень числителя равна степени знаменателя, но ничего страшного, она тоже реализуема. А вот функция вроде 2 не реализуема в силу наличия квадрата в числителе и отсутствия квадрата или более высокой степени в знаменателе, то есть в данном случае будет какая-то некомпенсированная производная. Таким образом, за порядком в передаточных функциях надо строго следить!


ТАУ. Основы основ.


© digitrode.ru


Теги: ТАУ



Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Комментарии:

Оставить комментарий